ЗАНЯТИЕ 3: «ПРЯМАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА»
Вопрос 1.Сущность прямой геодезической задачи.
Прямой геодезической задачей на плоскости называется способ определения координат точки по известным прямоугольным координатам заданной (исходной) точки, расстоянию между ними и дирекционному углу с заданной точки на определяемую.
На рис.1 показаны известные координаты точки А(Ха,Yа) и определяемые координаты точки В (Хв, Yв). Проекции прямой АВ на оси координат обозначим соответственно DХ,DY. Эти проекции являются катетами прямоугольного треугольника АВС:
Катет АС=ХB-CA=DХ,
Катет СВ=YB-YA=DY.
Величины DХ и DY называются приращениями координат, тогда
Хв=Ха+DХ;
Yв=Yа+DY.
Из прямоугольного треугольника АВС находим приращения координат по гипотенузе АВ и острому углу a:
DХ=АВ cosa;
DY=АВ sina.
Сложив алгебраически приращения координат с координатами точки А, получим координаты точки В
Хв=Ха+Д cosa=Ха+Д sin(15-00-a);
Yв=Yа+Д sina.
Эти формулы являются математическим выражением ПГЗ.
ПГЗ на плоскости может быть решена в том случае, когда дирекционный угол a расположен в пределах первой четверти, т.е. имеет значение от 0 до 15-00. Для решения ПГЗ во второй, третьей, четвертой четвертях необходимо от дирекционного угла направления с заданной точки на определяемую перейти к значению острого угла в первой четверти.
Правило приведения заданного дирекционного угла a к углу a¢ (острый угол, прилегающий к осям координат) в зависимости от координатной четверти
Дирекционный угол a второй четверти приводится к углу a¢ по формуле
a¢=30-00–a;
в третьей четверти
a¢=a-30-00;
в четвертой четверти
a¢=60-00-a.
Знаки приращений координат зависят от взаимного расположения точек А и В, а следовательно от знаков функций косинуса и синуса дирекционного угла направления, по которому вычисляется приращение координат.
ПГЗ может решаться графическим или аналитическим методом. Выбор метода и средств для решения зависит от вида топогеодезической привязки и
требуемой точности определения координат. Решение ПГЗ графическим методом может быть выполнено на карте (аэрофотоснимке), планшете или на ПУО.
Вопрос 2.Порядок вычислений при решении прямой геодезической задачи.
Задача 1. Вычислить координаты точки В, если известны координаты точки А Ха=35885,Уа=76667,расстояние между точками Д=433м, дирекционный угол с точки А на В a=25-32.
Решение.
1.Нарисовать абрис по условиям, указанным в задаче.
Х
А +DУ
25-32 У
-DХ 433м
a¢
В
2.Вычислить a¢, т.е. выполнить приведение заданного дирекционного угла
a к углу первой четверти:
a¢=30-00-a=30-00-25-32=4-68.
3.Вычислить приращения координат, знаки приращений:
DХ=Д sin(15-00-a¢)=433sin(15-00-4-68)=433sin10-32=-383,
порядок произведения +3+0=+3,
знак «-».
DУ=Дsina¢=433sin4-68=+205,
порядок произведения +3+0=+3,
знак “+”.
4.Определить координаты точки В по формулам:
Хв=Ха+DХ, Ув=Уа+DУ;
Ха=35885 Уа=76667
—DХ= 383 +DУ= 205
Хв=35502 Ув=76872
5.Проверить правильность координат точки В по абрису.
Задача 2.Вычислитькоординаты точки В, если известны координаты точки
А Ха=36900, Уа=75980, расстояние между точками Д=306м,дирекционный
угол с точки А на В a=45-16.
Решение
1.Нарисовать абрис по условиям, указанным в задаче.
Х
В 306м a¢
+DХ
У
А
-DУ
2.Вычислить a¢, т.е. привести заданный дирекционный угол к углу первой
четверти:
a¢=60-00-a=60-00-45-16=14-84.
3.Вычислить приращения координат, знаки приращений:
DХ=Д sin(15-00-a¢)=306 sin(15-00-14-84)=306 sin0-16»+5,
порядок +3+0=+3,
знак «+».
DУ=Д sina¢=306 sin14-84=-305,
порядок +3+0=+3,
знак “-“.
Определить координаты точки В по формулам
Хв=Ха+DХ, Ув=Уа+DУ:
Ха=36900 Уа=75980
+DХ= 5 —DУ= 305
|
|
5.Проверить правильность координат точки В по абрису. 3.Подвести итог по второму вопросу.